Cho a, b, c dương. Chứng minh: \(\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\ge\frac{3}{\sqrt{5abc}}\)
Cho các số thực dương a,b,c bất kì.Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\ge\frac{3}{\sqrt{5abc}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{5a\left(3a+2b\right)}}+\frac{\sqrt{ac}}{\sqrt{5b\left(3b+2c\right)}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{5c\left(3c+2a\right)}}\ge\frac{3}{5}\)
\(\Leftrightarrow\frac{bc}{\sqrt{5ab\left(3ac+2bc\right)}}+\frac{ac}{\sqrt{5bc\left(3ab+2ac\right)}}+\frac{ab}{\sqrt{5ac\left(3bc+2ab\right)}}\ge\frac{3}{5}\)
Thật vậy, theo AM-GM ta có:
\(VT\ge\frac{2bc}{5ab+2bc+3ac}+\frac{2ac}{3ab+5bc+2ac}+\frac{2ab}{2ab+3bc+5ac}\)
Đặt \(\left(ab;bc;ca\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{2x}{2x+3y+5z}+\frac{2y}{5x+2y+3z}+\frac{2z}{3x+5y+2z}=\frac{2x^2}{2x^2+3xy+5zx}+\frac{2y^2}{5xy+2y^2+3yz}+\frac{2z^2}{3zx+5yz+2z^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)+2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{5}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)
Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\)\(\ge\frac{3}{\sqrt{5abc}}\)
Ta có:
\(\frac{\sqrt{5abc}}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{\sqrt{5abc}}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{\sqrt{5abc}}{c\sqrt{3c+2a}}\)
\(=\frac{5bc}{\sqrt{5ab\left(3ac+2bc\right)}}+\frac{5ac}{\sqrt{5bc\left(3ba+2ca\right)}}+\frac{5ab}{\sqrt{5ca\left(3cb+2ab\right)}}\)
\(\ge\frac{10bc}{5ab+3ac+2bc}+\frac{10ac}{5bc+3ba+2ca}+\frac{10ab}{5ca+3cb+2ab}\)
Đặt \(ab=x,bc=y,ca=z\)(cho dễ nhìn)
\(=\frac{10x}{2x+3y+5z}+\frac{10y}{2y+3z+5x}+\frac{10z}{2z+3x+5y}\)
\(=\frac{10x^2}{2x^2+3yx+5zx}+\frac{10y^2}{2y^2+3zy+5xy}+\frac{10z^2}{2z^2+3xz+5yz}\)
\(\ge\frac{10\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{5\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+4\left(xy+yz+zx\right)}\)
Giờ ta cần chứng minh
\(\frac{5\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+4\left(xy+yz+zx\right)}\ge3\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)(đúng)
Vậy ta có ĐPCM
alibaba nguyễn bạn trả lời đúng đấy! Nhưng để dễ hiểu hơn ta nên áp dụng tổ hợp BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz nhé!
Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Cho 3 số thực dươTrương Minh Trọngng a, b,
Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
1a√3a+2b +1b√3b+2c +1c√3c+2a ≥3√5abc c. Chứng
Cho 3 số thực dương
Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
1a√3a+2b +1b√3b+2c +1c√3c+2a ≥3√5abc
a, b, c. Chứng minh rằng:
1a√3a+2b +1b√3b+2c +1c√3c+2a ≥3√5abc
Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
1a√3a+2b +1b√3b+2c +1c√3c+2a ≥3√5abc
Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
1a√3a+2b +1b√3b+2c +1c√3c+2a ≥3√5abc
minh rằng:
1a√3a+2b +1b√3b+2c +1c√3c+2a ≥3√5abc
1a√3a+2b +1b√3b+2c +1c√3c+2a ≥3√5abc
Cho a, b, c dương. Chứng minh: \(\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\ge\frac{3}{\sqrt{5abc}}\)
Ai đó xóa câu hỏi của em rồi @Akai Haruma
Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{bc}{\sqrt{5abc(3a+2b)}}+\frac{ac}{\sqrt{5abc(3b+2c)}}+\frac{ab}{\sqrt{5abc(3c+2a)}}\geq \frac{3}{5}(*)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(5abc(3a+2b)=5ab.(3ac+2bc)\leq \left(\frac{5ab+3ac+2bc}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow \frac{bc}{\sqrt{5abc(3a+2b)}}\geq \frac{2bc}{5ab+3ac+2bc}=\frac{2(bc)^2}{5ab^2c+3abc^2+2b^2c^2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại, cộng theo vế ta suy ra:
\(\sum \frac{bc}{\sqrt{5abc(3a+2b)}}\geq \sum \frac{2(bc)^2}{5ab^2c+3abc^2+2b^2c^2}(1)\)
Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz và AM-GM:
\(\sum \frac{2(bc)^2}{5ab^2c+3abc^2+2b^2c^2}\geq 2.\frac{(bc+ab+ac)^2}{2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+4abc(a+b+c)]}=\frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+4abc(a+b+c)}\)
\(=\frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab+bc+ac)^2+2abc(a+b+c)}\geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab+bc+ac)^2+\frac{2}{3}(ab+bc+ac)^2}=\frac{3}{5}(2)\)
Từ $(1);(2)$ suy ra $(*)$ đúng. BĐT được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Các bạn CTV lưu ý chỉ xóa những bài lặp lại, không đúng box, không đúng chủ đề, sai chính tả tùm lum và viết không có công thức gây khó hiểu thôi nhé.
1) cho a;b;c ko âm .chứng minh \(\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
2) cho a;;b;c dương và abc=1. chứng minh \(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\ge\frac{3}{2}\)
Bài 1:
\(BDT\Leftrightarrow\sqrt{\frac{3}{a+2b}}+\sqrt{\frac{3}{b+2c}}+\sqrt{\frac{3}{c+2a}}\le\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2b}}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+2\right)\left(a+2b\right)}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a+2b}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{b+2c}};\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{c+2a}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(3\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\ge3\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Bài 2: làm mãi ko ra hình như đề sai, thử a=1/2;b=4;c=1/2
Bài 2/
\(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\)
\(=\frac{b^2c^2}{a^2b^2c+a^2c^2b}+\frac{c^2a^2}{b^2c^2a+b^2a^2c}+\frac{a^2b^2}{c^2a^2b+c^2b^2a}\)
\(=\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{c^2a^2}{bc+ba}+\frac{a^2b^2}{ca+cb}\)
\(\ge\frac{\left(bc+ca+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)
\(\ge\frac{3\sqrt[3]{ab.bc.ca}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
bạn alibaba dòng thứ nhất rồi sao ra được dòng thứ hai á bạn mình k hiểu
Bài 1:
Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: \(\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\ge\frac{3}{\sqrt{5abc}}\)
Bài 2:
Với x, y là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của \(G=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
Bài 3:
Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\ge2\left(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\right)\)
Bài 4:
Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1, chứng minh rằng: \(\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}\ge\frac{3}{2}\)
Ai nhanh và đúng, mình sẽ đánh dấu và thêm bạn bè nhé. Thanks. Làm ơn giúp mình !!! PLEASE!!!
Bài 1: diendantoanhoc.net
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành
\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)
Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)
Bổ sung bài 1:
BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
cm voi moi so duong a b c thi
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\frac{1}{a+\sqrt{2b}+\sqrt{3a}}+\frac{1}{b+\sqrt{2c}+\sqrt{3a}}+\frac{1}{c+\sqrt{2a}+\sqrt{3b}}\right)\)
Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
\(\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}+\frac{3b+c}{\sqrt{b^2+2c^2+a^2}}+\frac{3c+a}{\sqrt{c^2+2a^2+b^2}}\le6\)
Chú ý: \(\left(a^2+2b^2+c^2\right)\left(2^2+1^2+2^2\right)\ge\left(2a+2b+2c\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+2b^2+c^2\ge\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{9}\Rightarrow\sqrt{a^2+2b^2+c^2}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{b^2+2c^2+a^2}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\); \(\sqrt{c^2+2a^2+b^2}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)
Thay vào ta có: \(VT\le\frac{3\left(3a+b+3b+c+3c+a\right)}{2\left(a+b+c\right)}=6\)(qed)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Is that true?
Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta được:
\(\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}\right)^2\le3\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{\left(3a+b\right)^2}{a^2+2b^2+c^2}\right)\)
Mặt khác cũng theo bđt Bunhiacopxki dạng phân thức, ta được:
\(\frac{\left(3a+b\right)^2}{a^2+2b^2+c^2}\le\frac{9a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2}=\frac{9a^2}{a^2+b^2+c^2}+1\)
Hoàn toàn tương tự, ta có:
\(\frac{\left(3b+c\right)^2}{b^2+2c^2+a^2}\le\frac{9b^2}{b^2+c^2+a^2}+1\);\(\frac{\left(3c+a\right)^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{9c^2}{c^2+a^2+b^2}+1\)
Cộng từng vế của các bđt trên, ta được:
\(\text{}\text{}\text{Σ}_{cyc}\frac{\left(3b+c\right)^2}{b^2+2c^2+a^2}\le\text{Σ}_{cyc}\frac{9b^2}{b^2+c^2+a^2}+3=9+3=12\)
Do đó \(\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}\right)^2\le3\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{\left(3a+b\right)^2}{a^2+2b^2+c^2}\right)\le3.12=36\)
Hay \(\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}\right)\le6\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
1. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\) Tìm GTNN của:
P =\(\frac{2a+1}{\sqrt{3a+1}}+\frac{2b+1}{\sqrt{3b+1}}+\frac{2c+1}{\sqrt{3c+1}}\)
Bài 1:
Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: \(\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\ge\frac{3}{\sqrt{5abc}}\)
Bài 2:
Với x, y là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của \(G=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
Bài 3:
Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\ge2\left(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\right)\)
Bài 4:
Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1, chứng minh rằng: \(\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}\ge\frac{3}{2}\)
Ai nhanh và đúng, mình sẽ đánh dấu và thêm bạn bè nhé. Thanks. Làm ơn giúp mình !!! PLEASE!!!
Bài 2:
Ta có: \(a,b>0\) nên: \(\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
Lại có: \(\frac{x^3+8y^3}{x^3}=\left(1+\frac{2y}{x}\right)\left(1-\frac{2y}{x}+\frac{4y^2}{x^2}\right)\) \(\le\frac{\left(2x^2+4y^2\right)^2}{4x^4}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}\)
Tương tự như trên ta có được: \(\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\ge\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\)
Lại có: \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\) nên:
\(\Rightarrow2y^2+\left(x+y\right)^2\le2x^2+4y^2\)
\(\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\ge\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)
\(\Rightarrow Min_P=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4y^2\left(x-y\right)^2=0\\\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+2y^2\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y\)
`(1/(1+2))+(1/(1+2+3))+(1/(1+2+3+4))+...+(1/(1+2+3+..+99))`